SVM-非线性支持向量机及SMO算法
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线性不可分情况
线性可分问题的支持向量机学习方法，对线性不可分训练数据是不适用的，为了满足函数间隔大于1的约束条件，可以对每个样本$(x_i, y_i)$引进一个松弛变量$\xi_i \ge 0$，使函数间隔加上松弛变量大于等于1,，
$$y_i (w \cdot x_i + b) \ge 1 - \xi_i$$
目标函数变为
$$\frac 1 2 {||w||^2} + C \sum_{j=1}^N \xi_i$$
其中，C>0称为惩罚参数，值越大对误分类的惩罚越大，值越小对误分类的惩罚越小。
因此，最小化目标函数也就是使$\frac 1 2 {||w||^2}$尽量小（间隔尽量大），同时使误分类点的个数尽量小。
线性不可分的线性支持向量机的学习问题变成如下凸二次规划问题：
$$ \min_{w,b,\xi}\frac 1 2 {||w||}^2 + C \sum_{i=1}^N \xi_i \ s.t. \quad y_i(w \cdot x_i + b) \ge 1 - \xi_i, \quad i=1,2,...,N, \xi_i \ge 0, i=1,2,...,N$$
线性支持向量学习算法
- 选择惩罚参数C>0，构造并求解凸二次规划问题
$$ \min_\alpha \frac 1 2 \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \alpha_i \alpha_j y_i y_j (x_i \cdot x_j) - \sum_{i=1}^N \alpha_i\ s.t. \quad \sum_{i=1}^N \alpha_i y_i = 0 \ 0 \le \alpha_i \le C, i=1,2,...,N$$
求得最优解$\alpha^*=(\alpha_1^*, \alpha_2^*, ... , \alpha_N^*)^T$
- 计算$w^*=\sum_{i=1}^N \alpha_i^* y_i x_i$
选择$\alpha^*$的一个分量$\alpha_j^*$适合条件$0<\alpha_j^*<C$，计算
$$b^*=y_i - \sum_{i=1}^N y_i \alpha_i^*(x_i \cdot x_j)$$
- 求得分离超平面
$$w^* \cdot x + b^* = 0$$
分类决策函数：
$$f(x) = sign(w^* \cdot x + b^*)$$
核函数
用线性分类方法求解非线性分类问题分为两步：首先使用一个变换将原空间的数据映射到新空间；然后在新空间里用线性分类学习方法从训练数据中学习分类模型。
核技巧应用在支持向量机的基本思想：通过一个非线性变换将输入空间（欧式空间$R^n$或离散集合）对应于一个特征空间（希尔伯特空间H），使得在输入空间$R^n$中的超曲面模型对应于特征空间H中的超平面模型（支持向量机）。
非线性支持向量分类机
非线性支持向量机
从非线性分类训练集，通过核函数与间隔最大化或凸二次规划，学习得到的分类决策函数：
$$f(x)=sign(\sum_{i=1}^N \alpha_i^*y_i K(x,x_i) + b^*)$$
称为非线性支持向量，$K(x,z)$是正定核函数。
学习算法
- 选择适当的核函数$K(x,z)$和适当的参数C，构造并求解最优化问题
$$\min_\alpha \frac 1 2 \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \alpha_i \alpha_j y_i y_j K(x_i, x_j) - \sum_{i=1}^N \alpha_i\ s.t. \quad \sum_{i=1}^N \alpha_i y_i = 0, 0<\alpha_i<C,i=1,2,...,N$$
求解最优解$\alpha^*=(\alpha_1^*, \alpha_2^*,...,\alpha_N^*)$
- 选择$\alpha^*$的第一个正分量$0<\alpha_j^*<C$，计算
$$b^*=y_i - \sum_{i=1}^N \alpha_i^* y_i K(x_i \cdot x_j)$$
- 构造决策函数
$$f(x)=sign(\sum_{i=1}^N \alpha_i^* y_i K(x \cdot x_i) + b^*)$$
序列最小优化算法
SMO算法是一种启发式算法。如果所有变量都满足KKT条件，那么这个最优化问题就解决了（KKT问题是该最优化问题的充要条件），否则，选择两个变量，固定其他变量，针对这两个变量构造二次规划问题。该方法会使原始二次规划问题的目标函数变小，不断分解自问题并对子问题求解进而达到求解原问题的目的。
由于
$$\sum_{i=1}^N \alpha_i y_i = 0$$
所以
$$\alpha_i = - \frac 1 {y_i} \sum_{i=2}^N \alpha_i y_i$$
两个变量的二次规划求解
假设选择两个变量$\alpha_1，\alpha_2$，
$$\min_{\alpha_1\alpha_2} \quad = \frac 1 2 K_{11} \alpha_1^2 + \frac 1 2 K_{22} \alpha_2^2 + y_1 y_2 K_{12} \alpha_1 \alpha_2 \ \quad (\alpha_1 + \alpha_2) + y_1 \alpha_1 \sum_{i=3}^N y_i \alpha_i K_{i1} + y_2\alpha_2\sum_{i=3}^N y_i \alpha_i K_{12} \ s.t. \quad \alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 = - \sum_{i=3}^N y_i \alpha_i = \xi \ 0 \le \alpha_i \le C, i=1,2$$
由于只有两个变量$(\alpha_i,\alpha_j)$，因此根据两变量的符号情况约束条件可用二位空间中的图表示（参考$\alpha_1 y_1 + \alpha_2 y_2 = \xi(常数)$），
L和H是$\alpha$取值的最小和最大值，如果$y_i != y_j$，则
$$L=\max(0,\alpha_2 - \alpha_1), H=\min(C,C+\alpha_2-\alpha_1)$$
如果$y_i = y_j$，则
$$L=\max(0,\alpha_2 + \alpha_1 + C), H=\min(C,\alpha_2+\alpha_1)$$
令
$$g(x) = \sum_{i=1}^N \alpha_i y_i K(x_i, x) + b$$
得到误差值：
$$E_i = g(x_i) - y_i = ( \sum_{i=1}^N \alpha_i y_i K(x_i, x) + b) - y_i$, \quad i = 1,2$$
此最优问题的解是：
$$\alpha_2^{new} = \alpha_2^{old} + y_2 \frac {(E_1 - E_2)} \eta$$
其中，
$$\eta = K_{11} + K_{22} - 2K_{12} = {||\phi(x_1) - \phi(x_2)||}^2$$
$\phi(x)$为输入空间到特征空间的映射，经过剪辑后是
$$f(n)=\begin{cases}
H,\quad \alpha_2^{new} > H \ \alpha_2^{new}, \quad L \le \alpha_2^{new} \le H \ L,\quad \alpha_2^{new} < L \end{cases}$$则$\alpha_1^{new}$为
$$\alpha_1^{new} = \alpha_1^{old} + y_1 y_2 (\alpha_2^{old} - \alpha_2^{new})$$
变量的选择方法
SMO算法在每个子问题中选择两个变量优化，其中至少一个变量是违反KKT条件的。
1.第1个变量的选择
SMO算法在外层循环中选取违反KKT条件最严重的样本点，并将其对应的变量作为第1个变量，KKT条件如下
$$\alpha_i = 0 <=> y_i g(x_i) \ge 1 \ 0 < \alpha_i < C <=> y_i g(x_i)=1 \ \alpha_i = C <=> y_i g(x_i) \le 1$$
其中，$g(x_i) = \sum_{j=1}^N \alpha_j y_j K(x_i,x_j)+b$。
该检验在$\epsilon$范围内进行的，在校验过程中，外层循环首先遍历所有满足条件$0<\alpha_i<C$的样本点，即在间隔边界上的支持向量点，检验它们是否满足KKT条件。如果这些样本点都满足KKT条件，那么遍历整个训练集，检验它们是否满足KKT条件。
2.第2个变量的选择
SMO算法在内层循环，假设在外层循环中已经找到第一个变量$\alpha_1$，现在要在内层循环中找到第2个变量$\alpha_2$，第2个变量选择的标准是希望能使$\alpha_2$有足够的变化。根据上一节可知，$\alpha_2^{new}$是依赖$|E_1 - E_2|$的，为了加快计算速度，最简单的做法是选择$|E_1 - E_2|$最大的（如果$E_1$为负值，则选择最大的$E_i$作为$E_2$，否则选择最小的$E_i$为$E_2$，需要保存所有的$E_i$）。
3.计算阈值b和差值$E_i$
在每次完成两个变量优化后，都要重新计算阈值b。
由KKT条件得
$$\sum_{i=1}^N \alpha_i y_i K_{i1} + b = y_i$$
从而
$$b_1^{new} = y_1 - \sum_{i=3}^N \alpha_i y_i K_{i1} - \alpha_1^{new} y_1 K_{11} - \alpha_2^{new} y_2 K_{21}$$
由于$E_i = g(x_i) - y_i = ( \sum_{i=1}^N \alpha_i y_i K(x_i, x) + b) - y_i$, \quad i = 1,2$，则
$$E_1 = g(x_1) - y_1 = \sum_{i=3}^N \alpha_i y_i K_{i1} + \alpha_1^{old} y_1 K_{11} + \alpha_2^{old} y_2 K_{21} + b^{old} - y_1$$
将上式中的$y_i - \sum_{i=3}^N \alpha_i y_i K_{i1} $代入$b_1^{new}$的公式中，得到
$$b_1^{new} = -E_1 - y_1 K_{11} (\alpha_1^{new} - \alpha_1^{old} ) - y_2 K_{21} (\alpha_2^{new} - \alpha_2^{old} ) + b^old$$
对于b的取值：
$$b^{new}=\begin{cases}b_1^{new}=b_2^{new}, \quad 0 < \alpha_i^{new} < C, i =1,2 \ \frac {b_1^{new} + b_2^{new}} 2,\quad \alpha_i^{new} == 0 or C，满足KKT条件\end{cases}$$